Harang hangjának digitális szintézise

A bonyolult gyártástechnológia, a kis darabszám és a drága alapanyagok miatt a harangok előállítási költsége magas. Az öntési technológiából következően hangjuk pontatlan, és a nagyobb méretű harangok esetében nehézkes - szinte lehetetlen - az utólagos korrekció.

A digitális technika elmúlt évtizedbeli fejlődése lehetővé tette, hogy a harang hangját elektronikusan állítsuk elő a korábbi ár töredékéért. A szakirodalomban több lehetőséget is találunk arra, hogy egy zenei hangot szintetizáljunk, a   választás azonban a harang esetében sem egyértelmű. A cél olyan haranghang-szintetizátor kifejlesztése volt, mely az alábbi jellemzőkkel bír:

• a hang magassága és az ütés minősége könnyen paraméterezhető

• könnyű új harangokat analizálni, szintetizálni

• az algoritmus jelfeldolgozó processzoron implementálható

Arra kerestünk választ, hogy milyen megoldásokkal lehet ezeket az igényeket kielégíteni. Egy speciális szintézismódszert dolguztunk ki, mellyel elfogadható minőségű haranghangot lehet szintetizálni.

A harang fizikai leírása

Az 1. ábrán két tipikus harangprofilt láthatunk. Az (a) ábra egy templomi harangozásra készült harangot mutat, míg a (b) jelű egy kisebb, harangjáték számára készültet. A profilok öntőről öntőre változnak, mivel egymástól függetlenül dolgozták ki a saját harangkészletüket kísérletezés útján (a tudás generációról generációra öröklődik), és a profilokat titokként kezelik. A harang speciális fémötvözetből - egyfajta bronzból - készül: az összetétel 80% réz, 18% ón, valamint cink és ólom.

1. ábra: harangprofilok templomi harang (a) és harangjáték (b) céljára

A harang rezgése nagyon bonyolult mozgás. Elvben ez a mozgás leírható merőleges irányú rezgési módusok lineáris kombinációjaként, ahol az egyes módusok kezdeti amplitúdóját a megütéskori alakváltozás határozza meg. Elméleti megfontolások alapján megjósolható, hogy minden módus 2m számú sugárirányú, egyenlően elosztott, és n számú a peremmel párhuzamos csomóponttal rendelkezik, ahol m, n = 0, 1, 2, .... m = 0 esetén a módusok egyszeresek, míg m>0 esetben párokról beszélünk, melyeknek - ideális, teljesen körszimmetrikus esetben - egy felhangot alkotnak.

2. ábra: Az első öt módus

A gyakorlatban azonban a harangok nem teljesen körszimmetrikusak, ezért ezek a párok két részre válnak (más-más közeli frekvenciák alakulnak ki), amit - a két közeli frekvencia miatt - tremolóként érzékelünk, ami nagyon fontos jellemzője a haranghangnak. A 2. ábrán az első öt módust láthatjuk, ahol a szaggatott vonalak jelzik a rezgések csomópontjait. Az 1. táblázatban a legfontosabb felhangokat és hangolásukat láthatjuk.

Harangmodell

Mivel a harang komplex rezgése nagyon jól leírható módusokkal, ezért kínálja magát az ötlet, hogy ezeket a módusokat szimbolizáló rezonátorokat megvalósítva nagyon jó minőségű haranghangot kaphatunk, a rezonátorokat gerjesztő jelet változtatva pedig a harang hangjában különböző effektusokat tudunk megvalósítani. Vizsgálatok során laboratóriumban több mint 140 módust tudtak elkülöníteni. Ekkora mennyiségű módus megvalósítása valósidőben a mai jelfeldolgozó processzorokon nem lehetséges, ezért kérdéses, hogy hány felhangot kell megvalósítani ahhoz, hogy a szintetizálás élethű haranghangot eredményezzen. Vizsgálatok szerint a harang élethű modellezéséhez elegendő 10-15 felhang modellezése. Ahhoz, hogy a rezonátorainkat kiszámítsuk, szükségünk van néhány paraméterre:

• a jósági tényezőre

• a körfrekvenciára

• a kezdőamplitúdóra

• kezdőfázisra

Ezeket a paramétereket a harang Dirac-delta jellegű gerjesztésére (kis tömegű, nagy sebességű, kemény kalapáccsal történő megütés) adott válaszából kell meghatároznunk. A körfrekvenciák eleve a rendelkezésünkre állnak - a jel spektrumából -, a többi paramétert pedig a felhangok burkológörbéiből tudjuk meghatározni. A burkolókat egy lekeverés után kapjuk meg:

A burkológörbét egy alacsony fokszámú IIR szűrővel modellezzük, amit Steiglitz-McBride algoritmussal tudunk illeszteni (ehhez a burkolót a számítási igény csökkentése érdekében decimáljuk). Az IIR szűrőt megvalósító z-tartománybeli átviteli függvényből meghatározhatjuk a pólusokat és zérusokat. Minden egyes pólus-zérus pár Dirac-gerjesztésre egy adott meredekséggel és kezdőamplitúdóval rendelkező exponenciálisan lecsengő, nemperiodikus jelet ad. Annak érdekében, hogy megkapjuk a felhangot előállító IIR szűrő struktúrát, ezeket a pólusokat kell transzformálnunk, ami két lépésből áll:

• nyújtás: a decimálás mértékének megfelelően a pólus távolságát csökkenteni kell az egységkörtől

• forgatás: a felhang frekvenciájának megfelelően el kell forgatni a pólust az origó körül. Mivel nem feltétlenül lesz meg a pólus konjugált komplex párja, ezért a rezonátorok komplexek lesznek.

A komplex rezonátorok átviteli függvénye:

A rendszer impulzusválasza:

ahol , ami időtartományban egy exponenciálisan lecsengő szinusz körfrekvenciával, pedig a kezdő amplitúdót és fázist határozza határozza meg:

Ekkor a komplex rezonátor valós és képzetes része:

A felhangokat generáló komplex rezonátorok frekvencia-, kezdőfázis- és amplitúdóeltérése egy komplex összeadással hozza létre a burkológörbéket. A 3. ábrán egy burkológörbe és az abból előállított felhang látható. A harang hangját az egyes felhangok párhuzamos kapcsolásával állítjuk elő, tehát a komplex rezonátorok párhuzamos kapcsolásával.

3. ábra: burkoló és a belőle generált felhang

Az ütőmodell

A harangmodell felállításakor feltételeztük, hogy a mért hang a harang közel ideális (Dirac-delta jellegű) gerjesztésre adott válasza. Az ütés modellezéséhez az alábbi paramétereket kell kezelnünk:

• az ütés erőssége

• az ütő anyagminősége

A Digitális Jelfeldolgozás Laboratóriumban történt mérések alapján az erőjelek (tehát a gerjesztés) az alábbi összefüggésben vannak a fenti paraméterekkel:

• az ütő keménysége arányos az erőjel sávszélességével, tehát puha anyaggal (gumi, fa) ütve a harangot az erőjel sávszélessége kisebb

• az ütés erőssége egyenes arányban áll az erőjel nagyságával

• az ütés erőssége egyenes arányban áll az erőjel sávszélességével, tehát erősebb ütéskor nagyobb az erőjel sávszélessége

A 4. ábrán egy harang mérése látható. Az ütés erejét erőmérő kalapáccsal, a hangot mikrofonnal érzékeljük, és párhuzamosan rögzítjük, majd utólag feldolgozzuk. A hatékony real-time megvalósíthatóság érdekében a fenti követelményeket egy egyszerű, az ütés erősségével és az ütő anyagával paraméterezhető elsőfokú aluláteresztő IIR szűrővel valósíthatjuk meg. A szűrőt egy, az ütés nagyságának megfelelő nagyságú egységimpulzussal gerjesztjük, a kimenetet pedig a harangmodellt alkotó komplex szűrőstruktúra bemenetére vezetjük.

4. ábra: Az őcsényi református templom harangjának mérése a DSP laborban

Összegzés

Bár a téma nem teljesen lezárt, és további kutatási lehetőségeket rejt, a jelenlegi modell sikeresnek. A meglévő hangszintézis modellek, valamint a harang és hangjának specialitásai alapján egy pszeudo-fizikai (forrás-szűrő) szintézis modellt alakítottunk ki, mellyel hatékonyan, mai (2006) technológiai szinten rendelkezésre álló digitális jelfeldolgozó processzorral (ADSP 21262, 300MHz), valós időben lehet haranghangot szintetizálni jó minőségben.

A megvalósult szintézist használó elektronikus harangjátékot meg lehet hallgatni például a budapesti Gárdonyi Géza Általános Iskolában (Bartók B. út 27.), és a gödöllő-máriabesnyői Kegytemplomban.

Demonstrációs anyagok

A következő linken DSP-n valós időben lejátszott anyagot találunk. A fájl mp3 formátumú. 

• Westminster katedrális

Ajánlott publiációk:

Rancz Lajos, Harang hangjának digitális szintézise, diplomaterv, Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, 2004.

A haranghang-szintézis részletes leírása.

Hasznos linkek

Rancz Első Magyar Toronyóragyár Kft.

A gyártásba került hangszer, ill. további demonstrációs anyagok.

 További információ: Sujbert László, Rancz Lajos