Nemlineáris húrrezgés modellezése

Az előzőekben lineáris húrmodellekkel foglalkoztunk, a húrt a lineáris rendszerek elméletéből ismert módszerekkel írtuk le (átviteli függvény, impulzusválasz stb.). Veszteség- és diszperziómentes esetben ilyenkor igaz az 1. ábra bal oldali képlete (lineáris hullámegyenlet), ahol y a húr kitérése egy adott x pontban és t időpillanatban, μ a húr egységnyi hosszra eső tömege, és T a húrfeszültség (azaz mekkora erővel van meghúzva a húr). A lineáris hullámegyenletet úgy kapjuk, hogy feltételezzük T állandóságát, azaz úgy tekintjük, hogy a húr rezgés közbeni alakváltozása elhanyagolható mértékben nyújtja meg a húrt a kezdeti megnyúlásához képest. Ilyenkor a húr egyes pontjai csak y irányban (a húrra merőlegesen) mozognak.

A valós hangszerek hangjában azonban olyan komponensek is megjelennek, amelyeket az eddig tárgyalt lineáris húrmodellek nem vesznek figyelembe. Ilyen pl. a húr longitudinális rezgése (eddig csak a transzverzális rezgést tárgyaltuk), valamint a fantom felhangsor megjelenése. Ez utóbbi az eredeti felhangok bizonyos összegfrekvenciáin megjelenő komponenseket jelenti. Különösen lényegesek ezek a komponensek a zongora esetében, ahol a mély húrok fémes hangzása nem állítható elő ezen komponensek figyelembevétele nélkül.

1. ábra: a geometriai nemlinearitás

 Ha a húrt mint tömegpontok és rugók hálózatát képzeljük el (a tömegeknek a pontok, a rugóknak a pontokat összekötő vonalak felelnek meg az 1. ábrán), nem nehéz belátni, hogy nagyobb rezgési amplitúdóknál a tömegpontok x irányban (a húr irányában) is kitérnek, hiszen pl. egy felfelé kimozdított tömegpont a mellette lévő pontokat nemcsak felfelé, hanem maga felé is húzza. Ez gerjeszti a longitudinális rezgést, amit eddig elhanyagoltunk. Az egyes tömegpontok távolsága (most ds, ami nyugalmi helyzetben dx volt) tehát a rezgés során változni fog. Ez a megnyúlás vagy összenyomódás a Hooke-törvény értelmében mechanikai feszültséget állít elő, ami a nyugalmi húrfeszültséghez (T₀) hozzáadódva kiadja a térfüggő húrfeszültséget (T(x)). Tehát a longitudinális rezgés a húrfeszültségen keresztül befolyásolja a transzverzális rezgést. Összefoglalva, mind az eddig is figyelembe vett transzverzális, mind pedig a longitudinális rezgést számolnunk kell, és ezek kölcsönös (és nemlineáris) csatolását is figyelembe kell vennünk.

A transzverzális és longitudinális polarizáció kölcsönös csatolásának számítása azonban meglehetősen bonyolult feladat, ezért - a valós idejű hangszintézis követelményeit szem előtt tartva - egyszerűsítésekkel kell élnünk. Tipikus ilyen egyszerűsítés, hogy a húrfeszültség (T) nem függ a térkordinátától (x), csak az idő (t) függvénye. Ez jól használható a laza fémhúrok esetén tipikus alapfrekvencia-csökkenés modellezésére, de nem képes leírni a fantom felhangok, ill. a longitudinális módusok viselkedését. Az erősen feszített fémhúrok esetében (amilyen pl. a zongorahúr) jobb közelítést jelent, ha a húrfeszültség mind a tér, mind pedig az idő függvénye, de a csatolást csak egyirányúnak feltételezzük, azaz a longitudinális rezgés transzverzálisra való visszahatását elhanyagoljuk (ld. 2. ábra). Ilyenkor a transzverzális rezgést a lineáris modelleknél ismertetett módszerek egyikével számítjuk, a külső gerjesztés (pl. kalapácsütés) ismeretében. A longitudinális rezgés formailag teljesen azonos módon számítható, csak itt a gerjesztés nem valamilyen külső eszközből, hanem a transzverzális rezgésből származik. A 2. ábrából jól látható, hogy a visszahatás elhanyagolása miatt a válasz számítását egymást követő lépésekből kapjuk, azaz nincs visszacsatolás a modellblokkok között. Ez az implementáció szempontjából is igen előnyös, valamint módot ad arra, hogy a választ analitikusan is kiszámíthassuk. A válasz analitikus számításának a hangszintézis területén nincs kitüntetett jelentősége, hiszen ott numerikus módszereket is alkalmazhatunk. A fizikai jelenség jobb megértéséhez azonban a zárt alakban meghatározott válasz kulcsfontosságú. A modell ilyen felépítésével ugyanis lehetővé válik a fantom felhangok keletkezésébek magyarázata, ami a hangszerkészítők és akusztikusok számára is hasznos lehet.

2. ábra: a transzverzális és longitudinális húrrezgés számítása

Természetesen az eddig elmondottaktól eltérően lehetőség van arra is, hogy a két polarizáció kölcsönös (kétirányú) csatolását numerikusan számítsuk. Továbbá, a valós húr két transzverzális polarizációban rezeg (y és z irányban), ezt is figyelembe vehetjük a modellben. A vonós hangszerek esetében egy negyedik polarizáció számítására is szükség lehet, a vonó ugyanis torzionális rezgést gerjeszt a húrban, ami a két transzverzális és longitudinális polarizációkkal szintén csatolódik, a helyzetet tovább bonyolítva. Kérdés azonban, hogy a modell komplexitásának növekedése arányban áll-e a hangminőség javulásával.

Ajánlott publikációk:

Balázs Bank and László Sujbert, "Generation of longitudinal vibrations in piano strings: From physics to sound synthesis,'' The Journal of the Acoustical Society of America, vol. 117, no. 4, pp. 2268-2278, Apr. 2005. Homepage	A húr nemlineáris viselkedése és ennek jelentősége a zongora esetében. Modellezés véges differenciás és modális módszerekkel.
Balázs Bank, Physics-based Sound Synthesis of String Instruments Including Geometric Nonlinearities, Ph.D. thesis, Budapest Univeristy of Technology and Economics, p. 142, Jun. 2006. Homepage	Az 5. fejezet a geometriai nemlinearitás elméletével, a 6. fejezet a modellezési módszerekkel foglalkozik.

További, a témával kapcsolatos publikációk ezen a lapon találhatók.

 További információ: Bank Balázs