Húros hangszerek fizikai alapú szintézise

A különböző húros hangszerek fizikai modelljei nagyban hasonlítanak egymáshoz, hiszen mindegyik központi eleme a húr modellje. Az eltérések leginkább a gerjesztés modelljében jelennek meg. Laboratóriumunkban a húros hangszerek közül leginkább a zongorahang szintézisére koncentráltunk, így a zongora példáján keresztül mutatjuk be a fizikai modellezés módszerét.

A zongora talán a legkedveltebb hangszer, még ha a múlt században veszített is népszerűségéből. Sok ember számára azonban a hangszer ára, mérete vagy hangereje (esti gyakorlás) nem teszi lehetővé, hogy igazi zongorát vagy pianínót birtokoljon. Ennek következtében igen elterjedtek a digitális zongorák, melyek felvett zongoraminták visszajátszásán alapulnak (PCM vagy sampling szintézis). Ezek az elektronikus hangszerek, bár egyes hangok megszólaltatásában kimagasló hangminőséget érnek el (hiszen van, amikor az összes hang különböző dinamikaszintjeit külön tárolják akár több 10 GB-nyi merevlemez-területen), néhány, a valóságban megjelenő fontos jelenséget nem képesek utánozni. Ilyen pl. egy már rezgő húr újbóli megütése, ami nem modellezhető a hullámtábla újbóli kiolvasásával, hiszen a húr rezgése ilyenkor nullától különböző kezdeti értékből indul. Ha egyszerre több hang szól, akkor azok között csatolás lép fel. Még ennél is fontosabb, hogy a zengetőpedál lenyomásával az összes húr szabadon rezeghet, így a megszólaltatott hangok az összes többi húrt gerjesztik. A hangok visszajátszásán alapuló módszer ezen hiányosságai kiküszöbölhetőek a fizikai modellezés alkalmazásával. Pengetős vagy vonós hangszerek esetében a fizikai modellezés látszólag még nagyobb lehetőségeket rejt magában, hiszen pl. a hegedűjáték végtelen variációit nem lehet mintákban tárolni. Fizikai modellezés esetén azonban a játékvariációk (vonósebesség, vonóerő, vibrátó, stb.) automatikusan figyelembe vehetők.

1. ábra: a fizikai modell és a jelmodell kapcsolata a valósággal

A fizikai modellezés alapgondolata, hogy a hangszer hangkeltő mechanizmusát modellezi (ld. 1. ábra), így a modell alkotóelemei a hangszer fontosabb részeinek felelnek meg. A zongora esetében a húr állítja elő a periodikus rezgést, ezt a húrmodellel modellezzük (2. ábra). A zongorista a billentyűk lenyomásával filccel borított fakalapácsokat indít útjára, melyek a húrnak ütközve impulzusszerűen gerjesztik azt. Ezt a gerjesztésmodell segítségével vesszük figyelembe. A húr önmagában igen rossz sugárzó, ezért a zongora esetében a húr rezgése a hídon keresztül a rezonátorlemezre adódik, mely, a húrhoz képest jóval nagyobb felületével képes a hang hatékony kisugárzására. Ezt veszi figyelembe a sugárzó modellje. Érdemes megemlíteni, hogy ez a modellstruktúra más húros hangszerek esetében is használható, csak a gerjesztésmodell kicserélésére van szükség (pl. kalapácsok helyett pengető vagy vonó). A húr és a sugárzó modellje maradhat ugyanaz, értelemszerűen más paraméterbeállítások mellett. Ez azt is előrevetíti, hogy a fizikai modellezés lehetőséget ad az egyes hangszerek virtuális keresztezésére is: pl. meghallgathatjuk, hogyan szólna egy hegedűvonóval gerjesztett zongorahúr. Hozzá kell azonban tenni, hogy más hangszerek esetében a modell megfelelő vezérlése sokkal bonyolultabb feladat: billentyűs hangszerek vezérlésére elektonikus zongorabillentyűzeteket használhatunk. A hegedűjáték finomságait (vonóerő, vonósebesség, vibrátó, stb.) azonban nem lehet egy zongorabillentyűzeten előállítani, így ahhoz valamilyen egyedi, vonószerű kezelőszerv építése szükséges. Természetesen primitív módon a hegedűmodell is vezérelhető billentyűzetről, de sajnálatos módon így épp azokat a finomságokat veszítjük el, melyek miatt a fizikai modellezés a felvett minták visszajátszásához képest előnyösebb lehetne.

2. ábra: a zongora és a zongoramodell

A fizikai alapú zongoramodell lelke a húrmodell, amely a húr hullámegyenletének numerikus megoldását jelenti. Az ideális húr hullámegyenlete első közelítésben a klasszikus egydimenziós hullámegyenlet, mely a húr mellett többek között az ideális távvezeték ill. légoszlop (pl. orgona, fúvós hangszerek) hullámterjedését is leírja. A hullámegyenlet megoldására több módszer is létezik, itt csak a három legnépszerűbbet említjük. A legegyszerűbb, de legszámításigényesebb a véges differenciák módszere, ahol a deriváltakat differenciákkal közelítjük (pl. előre- ill. hátralépő Euler-módszer). Másik lehetőség a húr rezgésének módusokra bontása. Ilyenkor a húr pillanatnyi alakját állóhullámok szuperpozíciójaként közelítjük, és a válasz ezen állóhullámok szinuszos rezgésének összegét jelenti.  Így a húr másodfokú rezonátorok párhuzamos kapcsolásával modellezhető. A leghatékonyabb húrmodellezési módszer a digitális hullámvezető, mely a hullámegyenlet időtartománybeli megoldásán alapul. Ismeretes, hogy a hullámegyenlet megoldása két, egy jobbra és egy balra haladó hullám szuperpozíciója. Teljesen merev lezárás esetén ezen hullámok a lezárásokon -1-szeres szorzóval visszaverődnek. Térbeli és időbeli diszkretizáció után a két haladóhullám pillanatnyi értékei két vektorban tárolhatók, a következő állapot pedig a vektorok tartalmának balra, ill. jobbra tolásával számítható. A módszer hatékonysága annak köszönhető, hogy ezek a vektorok (késleltetővonalak) cirkuláris bufferként implementálhatók. Az ideális húr modellje így egy visszacsatolt késleltetővonalra redukálódik.

3. ábra: a digitális hullámvezető

A fizikai húr azonban nem ideális: a rezgés során veszteségek lépnek fel, ill. a húr merevsége folytán a hullámterjedési sebesség frekvenciafüggő (diszperzió). Ezt a digitális hullámvezetőben úgy vesszük figyelembe, hogy az összes húron elosztott hatást egy pontba, a lezárásba koncentráljuk. Tehát úgy tekintjük, mintha a húrunk ideális lenne, és a veszteségek és diszperzió a lezárás nem ideális voltából következne. Ekkor a lezáráson történő reflexió nemcsak -1-gyel való szorzást, hanem szűrést jelent (a 3. ábrán H(z)-vel jelölve), amit egy viszonylag kis fokszámú digitális szűrővel veszünk figyelembe. A veszteségek a szűrő amplitúdómenetével, a diszperzió pedig a fázismenetével van kapcsolatban. A digitális hullámvezető esetében az egyik legizgalmasabb kérdés, hogy hogyan kell ezt a reflexiós szűrőt megtervezni, hogy a húrmodell által generált hang felhangjainak frekvenciái és lecsengési idejei jól közelítsék a valóságot.

A gerjesztés modellje hangszerről hangszerre eltérő. A zongora esetében ez legtöbbször egy tömeg-rugó modell, ahol a tömeg a kalapács tömegét, a rugó pedig a filc rugalmasságát modellezi. Ezt modellt egy egyszerű differenciálegyenlet írja le. A gerjesztés működtetése a következő: a kalapácsnak (tömeg és rugó összekapcsolva) kezdeti sebességet adunk, az a rugó felőli oldalával a húrnak ütközik. Az összenyomódó rugó által kifejtett erő gerjeszti a húrt, ill. visszalöki a kalapácsot (a tömegpontot). A zongorára jellemző, hogy a billentyűleütés sebességének növelésével nemcsak a hangerő növekszik, hanem a hangszín is megváltozik: a magasabb frekvenciás felhangok aránya megnő. Ez abból ered, hogy a kalapácson található filc az összenyomódás közben keményedik, azaz nem tekinthető ideális rugónak. Ezt úgy modellezhetjük, hogy az egyszerű F=Kx reláció helyett a rugó összenyomódásának valamely hatványát számítjuk, pl. F=Kx².

Pengetett hangszerek esetében a legegyszerűbb, ha a gerjesztést a húr kezdeti kitérésével modellezzük: úgy tekintjük, mintha az egy pontjában meghúzott (így háromszög alakot felvevő) húrt egyszerűen elengednénk. Ennél természetesen bonyolultabb modellek megvalósítására is lehetőség van, melyek figyelembe veszik a pengetés erejét, sebességét, a pengető súrlódását, stb.

Vonós hangszereknél az eddigiektől eltérően a gerjesztés folyamatosan jelen van, nem csak a hang indulásakor. Leegyszerűsítve, a mozgó vonó először magával rántja a húrt (tapadási súrlódás), majd, amikor a súrlódási erő egy bizonyos értéket meghalad, a húr visszacsúszik (csúszási surlódás). A két fázis váltakozása alakítja ki a periodikus rezgést. A vonás modellezése legegyszerűbben a súrlódást leíró statikus nemlinearitással történhet, mely a két test (vonó és húr) relatív sebességének függvényében megadja a súrlódási erőt.

A húrban tárolt rezgési energia egy része a hangszertestbe jut és akusztikai energiává válik, másik része a húrban marad a rezgést továbbra is fenntartva, harmadik része pedig veszteségként elenyészik. Így a híd és a rezonátorlemez nemcsak a kisugárzott hang hangszínét határozza meg (hiszen szűrőként funkcionál), hanem a húr egyes harmonikusainak lecsengési idejeit is, mert amelyik frekvenciákon több energiát von el a húrtól, ott a felhangok gyorsabban lecsengenek. A húrtól elvont energiát rendszerint a húrmodellben vesszük figyelembe, a már említett reflexiós szűrőben. A sugárzó modellje tehát arra a kérdésre redukálódik, hogy ha ismerjük a húr lezárására (a zongora esetében a hídra) ható erőt, akkor hogyan kell a hangszer által keltett hangnyomást egy adott pontban kiszámítani. A fizikai alapú megközelítés azt diktálná, hogy a sugárzóról is építsünk egy modellt (pl. a zongora rezonátorlemezéről egy 2D véges differenciás modellt), és annak rezgését számítsuk. Ez azonban nagyon számításigényes, és a legtöbb esetben nincs is arra szükség, hogy a rezonátorlemez minden egyes pontjának mozgását ismerjük, csupán az általa keltett hangnyomásra vagyunk kíváncsiak. Ilyenkor feketedoboz-modellt is alkalmazhatunk: egyszerűen mikrofonnal megmérjük, hogy egy adott erőgerjesztésre a rezonátorlemez milyen hangnyomást produkál, és az így felvett átviteli függvényt egy rendszerint igen nagy (néhány ezres) fokszámú digitális szűrőként implementáljuk. Ebben az esetben az az izgalmas kérdés, hogy milyen módon lehet minél kisebb fokszámú szűrővel egy adott hangminőséget elérni, azaz a fizika mellett pszichoakusztikai megfontolásokat is figyelembe kell venni.

A fent vázolt hangszermodell-struktúra csak egy lehetséges megoldás: itt a kalapács és húrmodell ténylegesen fizikai modellnek tekinthető, ahol a fizikai paraméterek (pl. kalapács sebessége, húr hossza) egy az egyben megfeleltethetők a modell paramétereinek, így játék közben változtathatók is. A sugárzó modellje már nem fizikai modell: tulajdonképpen egy digitális szűrő, mely egy mért átviteli függvényt implementál. Itt tehát nem jelennek meg a rezonátorlemez geometriai vagy anyagi jellemzői. Erre az egyszerűsítésre azért van szükség, mert egy ténylegesen fizikai alapokon nyugvó rezonátorlemez-modell nem lenne megvalósítható valós időben. Lehetőség pedig azért van rá (és ezért nincs pl. a kalapács esetében), mert a sugárzó paramétereit a zongorista játék közben nem képes változtatni, az mindig konstansnak tekinthető, az pedig elfogadható kompromisszum, hogy a virtuális mikrofonunk pozícióját nem tehetjük bárhova, csak ahova mérés közben tettük. Általában is igaz, hogy a fizikai modellezés esetében a modellünkben csak ott ragaszkodunk szigorúan a fizikai képhez, ahol ez az adott hangminőséghez és helyes viselkedéshez szükséges. Más szóval, ha egy jelenség hatását nem halljuk, akkor azt nem modellezzük, így is csökkentve a számításigényt. Más lenne a helyzet, ha célunk nem egy valós időben játszható modell, hanem egy kísérletezésre alkalmas program létrehozása lenne. Ha a nagy számításigény nem korlát, érdemes mindent szigorúan fizikai alapon figyelembe venni, mert így végső soron lehetőség nyílhat annak kipróbálására, hogy egy kör alakú zongora mennyiben szólna másképp, mint egy háromszög alakú. Ez a hangszerkészítők számára lehet hasznos, hiszen így a virtuális prototípus hangja előre meghallgatható.

Ajánlott publiációk:

Balázs Bank, Federico Avanzini, Gianpaolo Borin, Giovanni De Poli, Federico Fontana, and Davide Rocchesso, "Physically Informed Signal-Processing Methods for Piano Sound Synthesis: a Research Overview," EURASIP Journal on Applied Signal Processing, Special Issue on Digital Audio for Multimeda Communications, vol. 2003, no. 10, pp. 941-952, Sep. 2003.	A fizikai alapú zongoramodellezés digitális hullámvezető alkalmazásával. Saját eredmények és az irodalom összefoglalása. Jó kiindulópont a többi cikkhez.
Balázs Bank, Physics-Based Sound Synthesis of the Piano, Master's thesis, Budapest University of Technology and Economics, published as Report 54 of Helsinki University of Technology, Laboratory of Acoustics and Audio Signal Processing, May 2000. Homepage	Bár kicsit régebbi, mint a fenti cikk, részletesebben leírja a zongoramodell egyes elemeit, ill. a zongora fizikájáról is tartalmaz egy összefoglalót (2. fejezet).
Balázs Bank, Physics-based Sound Synthesis of String Instruments Including Geometric Nonlinearities, Ph.D. thesis, Budapest Univeristy of Technology and Economics, p. 142, Jun. 2006. Homepage	A 2. fejezet összefoglalja a legnépszerűbb húrmodellezési módszereket (véges differenciás, digitális hullámvezető, modális), a gerjesztésmodelleket (kalapács, pengető, vonó), valamint a hangszertest modellezésének lehetőségeit.

További, a témával kapcsolatos publikációk ezen a lapon találhatók.

Hasznos linkek:

Julius Smith honlapja	Rengeteg anyag (honlap és cikk) a fizikai modellezésről, kiemelten a digitális hullámvezetőről, a digitális hullámvezető atyjától.
Helsinki Egyetem Akusztikai Laboratóriumának honlapja	Cikkek, demók a hangszintézis területéről, főleg húros hangszerekre.
ISVR Demonstrációk	Szemléletes demonstrációk a hullámmozgás alapjairól, interferenciáról, valamint az állóhullámokról.

 További információ: Bank Balázs