Adaptív Fourier-analízis

A rezonátoros struktúra a feltételezett jelmodellel leírható jelek pontos analízisét adja. Ha azonban a periodikus bemenőjel frekvenciája eltér a feltételezettől, a becslő torzított. Ez a torzítás DFT esetén a jól ismert "picket fence" effektus, illetve "leakage". Az adaptív Fourier analizátor (AFA) ezeket a hiányosságokat küszöböli ki. Az AFA olyan rezonátoros struktúra, amelynek rezonátor pólusait a bemenőjel komponenseinek frekvenciáira hangoljuk, ezáltal biztosítva a bemenőjel hibamentes felbontását. Működésének bemutatásához leginkább a rezonátoros megfigyelő 1. ábrán látható változata alkalmas.

1. ábra: a rezonátoros megfigyelő

Az egyes csatornák működése úgy interpretálható, hogy a hibajelet először a vonatkozó g_k,n függvény zérus frekvenciára keveri, majd integrálás után a c_k,n függvény vissza az eredeti frekvenciára. Amennyiben a megfigyelő illeszkedik a jelmodellhez, az állapotváltozók nem változnak. Ha azonban eltérő frekvenciájú a bemenőjel, a keverés eredménye nem nulla frekvenciájú jel. Az állapotváltozó állandósult állapotban egy forgó komplex vektor, a forgás sebessége pedig megfelel az aktuális frekvenciakülönbségnek, és ez használható fel a frekvencia adaptálására. Ezt fejezi ki a következő egyenlet:

ahol a "kalapos" x_1,n az alapharmonikushoz tartozó állapotváltozót jelöli, "angle" pedig a két komplex szám mint vektor által bezárt szöget adja meg. Az új frekvencia segítségével kifejezhető a bázisfüggvény következő időpillanatbeli értéke:

A megfigyelőt mindig az aktualizált bázisfüggvénnyel kell működtetni. A DFT-t megvalósító rezonátoros struktúra véges impulzusválaszú. Ha azonban az alapharmonikus frekvenciája megváltozik, az eredeti g_i,k becsatoló együtthatók nem biztosítják a véges beállást. Új együtthatókészlet számítása viszont számítástechnikailag kedvezőtlen, mind numerikus okokból, mind pedig real-time működés szempontjából. Ha azonban az egyenletes rezonátor-elhelyezkedéstől csak kissé térünk el, a rendszer még gyors marad. Széles tartományban változó alapharmonikusú jelek esetében ez úgy biztosítható, hogy az aktuális frekvenciának megfelelően új rezonátorokat "léptetünk be" a rendszerbe, vagy az f=0.5 felettieket megszüntetjük. A rendszerben mindig pontosan annyi rezonátor kell legyen, ahányat a sávkorlát alapján el lehet helyezni. Az új rezonátorok inicializálása a következő:

A fent ismertetett algoritmusra alapozva az adaptív Fourier analizátorok egy családja fejlődött ki. Az eredeti AFA változó frekvenciájú jel frekvenciáját csak konstans hibával becsli, ezáltal a jelrekonstrukció sem hibátlan. A későbbiek során lineárisan, logaritmikusan és hiperbolikusan változó frekvencia követésére zérus hibával alkalmas AFA-t is kidolgoztunk. Az AFA algoritmus konvergenciája nem nyilvánvaló, és az analízis is bonyolult, a nemlineáris probléma miatt.

Az alábbi, 2. ábrán az AFA működését mutatjuk be. A rendszer bemenetére egy - szándékosan nem kerek - f=0,077 relatív frekvenciájú jelet kapcsoltunk a 0. időpillanatban. Maga a jel egy 3 komponensből álló sávkorlátozott szimmetrikus háromszögjel, ahogyan az az ábra bal felső grafikonján látható. Alatta a ciklámenszínű görbe mutatja a frekvenciabecslő alakulását az idő függvényében. A kezdeti frekvencia f=0,025 körüli érték, erről kell a helyes frekvenciához konvergálnia a megfigyelőnek. A jobb felső grafikonon a zöld görbe a struktúra hibajelét mutatja. Ha ez a hibajel nullához tart, a jelrekonstrukció helyes, ezért ezt a jelet kutatási, fejlesztési munkáink során mindig megjelenítjük. A jobb alsó grafikon pedig az egyes harmonikusok becsült amplitúdóját mutatja, rendre piros, világos- és sötétkék színnel. A grafikonokon jól látható, hogy kb. 100 minta után a rendszer beállt az állandósult állapotba. Mivel az új frekvencia az előző kb. háromszorosa, a rendszer strukturális adaptivitására van szükség, azaz rezonátorok megszüntetésére. Ennek tulajdonítható, hogy a beállás nem a lineáris, időinvariáns rendszereknél megszokott exponenciális jellegű.

2. ábra: az AFA működése

Egy másik oldal, amely bemutatja az AFÁ-t, letölthető Matlab-kóddal: http://mit.bme.hu/~sujbert/afa

Ajánlott publikációk:

F. Nagy, "Measurement of signal parameters using nonlinear observers," IEEE Transactions on Instrumentation and Measurement, vol. IM-41,pp. 152-155, Febr. 1992.	Az AFA algoritmus bemutatása.
F. Nagy, "An adaptive Fourier analysis algorithm" 5th International Conference on Signal Processing Applications and Technology, Oct. 18-21, 1994, Dallas, Texas, USA, pp. 414-418.	Az AFA változó frekvenciájú jeleket követni képes módosításainak bemutatása.
L. Sujbert, G. Simon and A. Várkonyi-Kóczy, "An improved adaptive Fourier analyzer", Proceedings of the IEEE International Workshop on Intelligent signal Processing, Sept. 1999, Budapest, Hungary, pp. 182-187.	Egy, a korábbinál szélesebb frekvenciasávban működőképes AFA bemutatása.
L. Sujbert, G. Simon and G. Peceli, "An Observer-Based Adaptive Fourier Analysis [Tips & Tricks]", IIEEE Signal Processing Magazine, vol. 37, no. 4, pp. 134-143, July 2020, doi: 10.1109/MSP.2020.2982167.	Az AFA áttekintő ismertetése.

További, a témával kapcsolatos publikációk ezen a lapon találhatók.

 További információ: Sujbert László