Rezonátor alapú digitális szűrők

A digitális szűrők megvalósítása elvileg nem okoz nehézséget, a gyakorlatban azonban, a jelfeldolgozásra rendelkezésre álló eszközök véges szóhosszúsága miatt problémák lépnek fel, elsősorban szigorú specifikációt kielégítő IIR szűrők esetében. Egy adott szűrőt nagyon sokféle diszkrét hálózat realizálhat, ezek azonban nem viselkednek egyformán, ha véges a megvalósítás szóhosszúsága. A rezonátoros megfigyelő kiegészítésével nagyon jó tulajdonságokkal rendelkező szűrőstruktúrához juthatunk. Az alábbiakban először áttekintjük a digitális megvalósítás problémáit, majd bemutatjuk a rezonátoros szűrőket.

A digitális megvalósítás problémái

A digitális szűrők áramköri szempontból lineáris időinvariáns diszkrét idejű rendszerek, melyek átviteli függvénye z-ben racionális törtfüggvény:
 

ahol B(z) és A(z) polinomok. A digitális szűrők számítása általában az alábbi képlet alapján történhet:

ahol x(n) és y(n) rendre a gerjesztés és a válasz mintái az n. időpillanatban, az a_i és b_i konstansok pedig rendre A(z) és B(z) együtthatói. FIR szűrők esetén az összeg második tagja zérus.

A FIR és IIR szűrők implementáció szempontjából is elkülönülnek. Míg a FIR szűrőket szinte kivétel nélkül a bemutatott egyenlet szerint számíthatjuk, addig IIR esetben ritka, hogy ez az ún. direkt számítás megfelelő lenne. Az a_i együtthatók pl. H(z) nevezőjét valósítják meg. A gyökök és az együtthatók közötti összefüggés erősen nemlineáris, és kis együttható-változáshoz is nagy gyökeltérés tartozhat. Ezért előfordulhat, hogy a megtervezett szűrő kvantált együtthatói már labilis rendszert eredményeznek. Minél nagyobb a fokszám, annál nagyobb ez a veszély. De ha stabil is marad a rendszer, előfordulhat, hogy nem teljesíti a specifikációt. További probléma, hogy a kiszámítás során fellépő kvantálási hiba úgy halmozódhat, hogy a rendszer labilissá válik. Ezeket a lehetőségeket foglalja össze az 1. ábra.

1. ábra: a digitális megvalósítás problémái

A fenti problémák miatt a H(z) átviteli függvény megvalósítására speciális struktúrákat alkalmaznak. Egy gyakori megoldás, hogy az átviteli függvényt másodfokú tényezőkre bontják, és ezeket a másodfokú blokkokat már direkt módon meg lehet valósítani. Ezek soros vagy párhuzamos kapcsolása valósítja meg a kívánt szűrőt. Jó tulajdonságokkal rendelkeznek az ún. lattice, illetve hullámdigitális szűrők. A működtetés során általában célszerű olyan kerekítési stratégiát alkalmazni, amely a kerekítendő szám abszolút értékét csökkenti. A speciális struktúrák között foglal helyet a rezonátoros szűrő is. Ez az elrendezés kiváló érzékenységi tulajdonságokkal rendelkezik, skálázásra nincs szükség, abszolútérték-csökkentő kvantálást alkalmazva mentes a határoszcillációktól, bizonyítottan minimális zajú elrendezés. Az 1. táblázat az egyes implementációs lehetőségeket értékeli, több szempont szerint, a szokásos ötfokozatú skálán. Az értékelés alapja az, hogy mennyire alkalmas az adott struktúra tetszőleges H(z) átviteli függvény megvalósítására.
 

1. táblázat: digitális szűrő megvalósítási lehetőségek értékelése

Rezonátoros szűrők

A rezonátoros szűrő blokkvázlata a 2. ábrán látható. A rendszer bemenete az s_n jel, kimenete pedig y_n. A rezonátoros megfigyelő struktúra kiegészül a w_i szorzótényezők által reprezentált kicsatolással, valamint a késleltetésmentes előrecsatolást megvalósító d együtthatóval.
 

2. ábra: rezonátoros szűrő

A struktúra paramétereit a H(z) előzetesen megtervezett átviteli függvényből az alábbi lépésekben határozhatjuk meg:

1. A közvetlen előrecsatolás számítása a következő:

azaz az átviteli függvény z^-1 szerint kifejezett alakjában a nulladfokú együtthatók hányadosa.
   
2. Az A(z) nevezőpolinom alapján meghatározhatók a 

egyenlet gyökei. A(z^-1)-et egyszerűen A(z) együtthatói sorrendjének megfordításával nyerhetjük. A két előjelnek megfelelően két gyökkészlet adódik. Ezek közül az egyiket kell kiválasztani, amely a szűrő rezonátor pólusait adja.
   
3. Mindkét készletre ki kell számítani az

együtthatókat, amelyek pontos számítás esetén valósnak adódnak. A fenti összefüggésben z_i, z_j  a potenciális rezonátor pólusokat, p_j H(z) pólusait jelöli. Azt a rezonátor készletet kell alkalmazni, amelyre nézve:

A rezonátorok ábra szerinti g_i együtthatói 

alakúak.

4. A kicsatoló együtthatók egyszerűen a

összefüggéssel számíthatók, azaz az eredeti átviteli függvény rezonátor pozíciókban történő mintavételezésével.

Példaként tekintsük a 3. ábrán látható amplitúdókarakterisztikával rendelkező tizedfokú Cauer típusú IIR szűrő megvalósítását.

3. ábra: tizedfokú Cauer típusú IIR szűrő amplitúdókarakterisztikája

A rezonátor pólusok az alábbiak:
 

A rezonátor pólusokat a 4. ábrán kis kék körök jelölik. Látható, hogy a rezonátorok az áteresztőtartományra koncentrálódnak.

4. ábra: a rezonátor pólusok elhelyezkedése a komplex síkon. A zöld kör az egységkör.

A további paraméterek a következők:

Ezen paraméterek ábrázolása még fixpontos környezetben sem okoz gondot. Tapasztalatok szerint rezonátoros struktúrával igen szigorú specifikációjú IIR szűrők is megvalósíthatók, akár 16 bites fixpontos számábrázolás mellett is.

Ajánlott publiációk:

G. Péceli, "Resonator based digital filters", IEEE Transactions on Circuits and Systems vol. CAS-36, pp. 156-159, Jan. 1989.	A rezonátoros szűrőstruktúra bemutatása.
T. Tölyhi, "Programozható digitális szűrő tervezése", M.Sc. thesis, Budapest University of Technology and Economics, Budapest, 2004, 99 p.	A kritikus specifikációjú szűrést rezonátoros szűrők végzik. A dolgozat sok mérési eredményt mutat be a megvalósított szűrőkről.

További, a témával kapcsolatos publikációk ezen a lapon találhatók.

 További információ: Sujbert László