Rezonátoros alapstruktúra

A rezonátoros struktúra mögött rejlő fontos alapgondolat, hogy hatékony jelkiértékelő eljáráshoz juthatunk, ha az eljárás struktúráját a jelet generáló modell struktúrája határozza meg. Szükségünk van tehát egy, a jelet generáló modellre, amelyet koncepcionális jelmodellnek nevezünk. Ezek után a jelkiértékelő eljárás a jelmodell mint rendszer megfigyelője lesz. Esetünkben a koncepcionális jelmodell sávkorlátozott periodikus jeleket generál.

1. ábra: a koncepcionális jelmodell

A koncepcionális jelmodell a jól ismert Fourier-sorfejtésen alapul. Az 1. ábra alapján jól követhető a jelgenerálás folyamata: az egyes csatornák a Fourier-komponenseket állítják elő, amelyek összege adja a kimenetet. Az egyes csatornákon szereplő szorzótényezők a sorfejtés bázisfüggvényei, amelyek az ábrán látható gerjesztetlen integrátorok kimenőjelét modulálják. A bázisfüggvények kifejezése a következő:

ahol f₁ az alapharmonikus relatív frekvenciája. A komponensek száma: N = 2L + 1. Egy adott y_n periodikus jel generálása úgy képzelhető el, hogy a kezdetben nulla kimenőjelű integrátorok bemenetére egy nulla időpillanatban a vonatkozó Fourier-együtthatókat kapcsoljuk. Az integrátorok kimenetei (amelyek állapotváltozóik is) ezeknek az együtthatóknak megfelelő konstans értéket tartanak. Ha az integrátorok bemenetét gerjesztjük, időben változó paraméterekkel rendelkező kimenőjelet kapunk. A koncepcionális jelgenerátor alternatív megvalósítása a 2. ábrán látható.

2. ábra: a koncepcionális jelmodell rezonátorokkal

Az y_n kimenőjel itt rezonátorok kimenőjeleinek összegeként áll elő. Egy-egy csatorna olyan lineáris rendszer, amelynek egyetlen pólusa van az egységkörön:

Ennek a modellnek az állapotváltozói maguk a sorfejtésnek megfelelően súlyozott komplex exponenciálisok. A két jelmodell egy-egy csatornája ekvivalens, amelyek egymásnak úgy feleltethetők meg, hogy az 1. ábrán szereplő integrátorok bemenetét a megfelelő bázisfüggvény komplex konjugáltjával beszorozzuk, egyidejűleg a 2. ábrán szereplő rezonátorok számlálójában z_i-vel szorzunk. Ezt mutatja a 3. ábra.

3. ábra: a rezonátoros és az integrátoros jelmodell megfeleltetése

A koncepcionális jelmodellhez megfigyelőt kell tervezni. Mivel a koncepcionális jelmodell egykimenetű, gerjesztetlen, teljesen megfigyelhető rendszer, ezért ehhez viszonylag egyszerűen tervezhető teljes rendű Luenberger-féle állapotmegfigyelő. A megfigyelő a 4. ábrán látható.

4. ábra: a rezonátoros jelmodellhez tartozó megfigyelő

Megfigyelőelméleti alapon tetszőleges karakterisztikus polinommal leírható N-edrendű állapotmegfigyelő tervezhető a rendszerhez. Sőt, ahogyan azt egyes esetekben ki is használjuk, a rezonátorpozíciók is tetszőlegesek lehetnek. Itt azonban a Fourier-sorfejtésnek megfelelő esetet tekintjük, ezek között is kitüntetett szerepe van annak, amelyre igaz, hogy f₁ = 1/N. Ekkor a rezonátorok a komplex síkon az N-edik egységgyökök, grafikusan ábrázolva elhelyezkedésük az egységkörön egyenletes. A véges beállás eléréséhez szükséges becsatoló együtthatók ekkor:
 

Megfigyelő természetesen az 1. ábrán látható koncepcionális jelmodellhez is tervezhető. Ebben az esetben a fenti g_i együtthatóknak időben változó szorzótényezők felelnek meg. Az elrendezés az 5. ábrán látható.

5. ábra: az integrátoros jelmodellhez tartozó megfigyelő

A megfigyelő állapotváltozói a Fourier-együtthatók. Ha a rendszer véges beállású, a g_i,n függvényeket a sorfejtés ún. reciprok bázisfüggvényeinek nevezzük. Ha a rezonátorok az egységkörön egyenletesen helyezkednek el, véges beállás esetén az együtthatók:
 

Ekkor a struktúra rekurzív diszkrét Fourier-transzformációt (DFT) valósít meg, és az állapotváltozók a transzformált értékeit adják.

A rezonátoros struktúra bemutatásához hozzátartozik néhány jellemző átviteli függvény megadása is. Egy rezonátor csatorna átviteli függvénye:
 

A zárt hurok átviteli függvénye a bemenettől a visszacsatolt jelig:
 

amely abban az esetben, ha a rendszer véges beállású és  a rezonátorok egyenletesen helyezkednek el, rendkívül egyszerű alakú:
 

ami azt az ismert tényt fejezi ki, hogy a DFT a transzformáltat N ütemmel késleltetve adja meg. Zárt hurokban a hibajelre vonatkozó átviteli függvény a következő:
 

E(z)-nek rezonátor pozíciókban zérusai vannak. E(z) tehát a periodikus jelmodell frekvenciáin működő lyukszűrő. A lyukszűrő "szélessége" a hurokerősítéstől, azaz a becsatoló paraméterektől függ: minél kisebb az abszolút értékük, annál keskenyebb a szűrő. DFT esetére (N=9) |E(f)| a 6. ábrán látható. A frekvencia itt relatív frekvenciát jelöl, azaz pl. f=1 a mindenkori mintavételi frekvenciának felel meg.

6. ábra: a hibajel amplitúdókarakterisztikája

Végül egy csatorna zárt hurokra vonatkozó átviteli függvénye:
 

amely DFT esetén a jól ismert:
 

alakot ölti, ahol f_i a rezonátorfrekvenciát jelöli. Példa  i=4, N=9 esetére a 7. ábrán látható.

6. ábra: egy csatorna amplitúdókarakterisztikája

A rezonátoros megfigyelő struktúrát sikeresen alkalmazzák minden olyan területen, ahol a jelek leírására a periodikus jelmodell adekvát. Különösen alkalmas Fourier-transzformáció rekurzív megvalósítására, de tetszőleges ortogonális transzformáció (pl. Walsh-Hadamard transzformáció) reprezentálására is alkalmazható.

Ajánlott publiációk:

G. Péceli, "A common structure for recursive discrete transforms", Transactions on Circuits and Systems vol. CAS-33 pp. 1035-36, Oct. 1986.	A rekurzív transzformációk végrehajtására alkalmas megfigyelő bemutatása.
Péceli G., "Valós idejű jelkiértékelés mérési eljárásokban", akadémiai doktori értekezés, DSc thesis, Hungarian Academy of Sciences, 1988. 211 p.	A rezonátoros struktúra és alkalmazási körének (transzformációk, digitális szűrés) átfogó bemutatása.
L. Sujbert, "Periodikus zavarhatások csökkentésének aktív módszerei", Ph.D. thesis, Budapest University of Technology, Budapest, 1997, 95 p.	A dolgozat tartalmazza a rezonátoros struktúra részletes magyar nyelvű bemutatását.

További, a témával kapcsolatos publikációk ezen a lapon találhatók.

 További információ: Sujbert László